3. 수의 체계

실수

실수는 수직선 상의 모든 점과 1대1 대응을 이룬다.

수직선은 물리적 공간을 의미하므로 물리적으로 실제로 존재한다는 의미에서 실수라고 부른다.

$ 실수 \begin{cases}유리수 \begin{cases} 정수 \begin{cases} 양의 \; 정수 \newline 영(0) \newline 음의 \; 정수 \end{cases} \newline 정수가 \; 아닌 \; 유리수 \begin{cases} 유한소수 \newline 순환소수 \end{cases} \end{cases} \newline 무리수 : 순환하지 \; 않는 \; 무한소수 \end{cases} $ 

$a, \quad b $가 실수일 때,

$ \lvert a \rvert =\begin{cases} a \quad (a \geq 0) \newline -a \quad (a < 0) \end{cases} $

$ \lvert a \rvert \geq 0 $

$ \lvert -a \rvert = \lvert a \rvert $

$ \lvert a \rvert ^2=a^2 $

$ \lvert  ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert $

$ \lvert \frac{a}{b} \rvert = \frac{ \lvert a \rvert }{ \lvert  b \rvert } (b \neq 0) $

$ n \leq x < n+1 $이면 $ [x]=n $

양수 $a$에 대해 $ \sqrt{a} , \quad - \sqrt{a} $를 $a$의 제곱근이라고 한다.

$ a=( \sqrt{a})^2 =( - \sqrt{a} )^2 $

세제곱근

$ ( \sqrt[3]{a} )^3 = a $

$ a>0$,  $b>0 $일 때,

$ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ , $ \sqrt{a^2b} = a \sqrt{b} $

$ \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }= \sqrt{ \frac{a}{b} } $ , $ \sqrt{ \frac{a}{b^2} } = \frac{ \sqrt{a} }{b} $

$ a>0$,  $b>0 $일 때, $ \sqrt{ a+b+2 \sqrt{ab} }= \sqrt{a}+\sqrt{b} $

$ a>b>0 $일 때, $  \sqrt{ a+b-2 \sqrt{ab} }=  \sqrt{a}-\sqrt{b} $

$ a$,  $b$,  $c$,  $d$가 유리수, $ \sqrt{m} $이 무리수

$ a+b \sqrt{m} = c+ d \sqrt{m} \Leftrightarrow a=c, \quad b=d $

$a$,  $b$,  $m$,  $n$이 유리수, $ \sqrt{m}$, $\sqrt{n} $이 무리수

$ a+\sqrt{m} = b+ \sqrt{n} \Leftrightarrow a=b, \quad m=n $

복소수

제곱하여 $-1$이 되는 수를 $i$ 라고 정의한다. $i^2=-1$ 

$i=\sqrt{-1} $로 표기하기도 한다.

$a>0$일 때 $ \sqrt{-a} = \sqrt{a} i $로 정의한다.

실수 $ a, \; b $에 대해 $a+bi $를 복소수라고 한다.

실수 $a$,  $b$,  $c$,  $d$에 대해

$a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c, \, b=d $

$ z=a+bi$와  $ \bar{z} =a-bi $는 서로 켤레복소수라 부른다.

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i  $

$(a+bi) \times (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $

$ \frac{ a+bi }{ c+di } = \frac{ ac+bd }{ c^2+d^2 } + \frac{ bc-ad }{ c^2+d^2 } $

복소수 $ \alpha $,  $ \beta $,  $ \gamma $에 대해

$ \alpha + \beta = \beta +\alpha , \quad \alpha \beta = \beta \alpha $

$ ( \alpha + \beta )+ \gamma = \alpha +( \beta + \gamma ) , \quad ( \alpha \beta ) \gamma = \alpha ( \beta \gamma ) $

$ \alpha ( \beta + \gamma )= \alpha \beta + \alpha \gamma , \quad (\alpha + \beta ) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma $