2. 다항식의 성질

항등식의 성질

모든 $x$에 대해 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +a_1x+a_0 = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +b_1x+b_0$

$  \Leftrightarrow a_n=b_n, a_{n-1}=b_{n-1}, a_{n-2}=b_{n-2}, \cdot \cdot \cdot , a_1=b_1, a_0=b_0 $


다항식의 나눗셈

$x$에 관한 다항식 $A$, $B$, $Q$, $R$에 대해서

$A=BQ+R$ ($R$의 차수 $<$ $B$의 차수)이면 다항식 $A$를 $B$로 나누었을 때 몫이 $Q$, 나머지가 $R$라고 말할 수 있다.


$A=f(x), \quad B=x- \alpha $이면

$f(x)=(x- \alpha ) Q +R $   

$ f( \alpha )=( \alpha - \alpha )Q( \alpha )+R( \alpha ) $ 

$R(x)$는 $x- \alpha $보다 한 차수가 낮으므로 $x$에 대한 0차이다. 즉, 상수이다.

따라서 $f( \alpha )=R $

$f(x)$를 $x- \alpha $로 나눈 나머지는 $R=f( \alpha )$이다.


$R=0$이면

$f(x)=(x- \alpha )Q(x)+R \Rightarrow f(x)=(x- \alpha )Q(x)$

$f(x)$는 $x- \alpha $로 나누어 떨어진다.

이때, $f( \alpha )=0 $이다.

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